L’objectif de ce cours est de présenter les outils mathématiques essentiels pour la physique en L3. Il ne s’agira pas là d’insister en profondeur sur les conditions d’existence des différents outils (bien que nous nous attacherons à une certaine rigueur dans ce domaine), mais d’acquérir une aisance dans leur manipulation. Nous prendrons de nombreux exemples dans divers domaines de la physique (mécanique quantique, optique, électromagnétisme, traitement du signal).
Nous commencerons par définir le cadre mathématique de la mécanique quantique : les espaces de Hilbert. Nous aborderons également comment définir des observables quantiques en tant qu'opérateurs hermitiens, et comment déterminer leur spectres. Nous traiterons ensuite de l'analyse de Fourier (décomposition en série de Fourier des fonctions périodiques et transformée de Fourier) et de la théorie des distributions, qui sont des outils fondamentaux dans tous les domaines de la physique. Nous reviendrons sur l’intégration des fonctions de plusieurs variables, avant d'introduire l'analyse des fonctions complexes et ses applications au calcul intégral par le théorème des résidus. Nous finirons en étudiant la résolution des équations différentielles et aux dérivées partielles d'intérêt en physique, ce qui mêlera les notions des chapitres précédents, et enfin certaines fonctions spéciales.
Objectifs et compétences à acquérir
Objectifs et compétences à acquérir:
1. Connaître le cadre mathématique de la mécanique quantique.
2. Comprendre la définition mathématique des observables quantiques et de leur spectres.
3. Maîtriser l'analyse de Fourier (décomposition en série de Fourier, transformée de Fourier) et ses applications physiques.
4. Comprendre la notion de distribution et savoir les manipuler.
5. Calculer une intégrale multiple, en effectuant si besoin un changement de variables.
6. Maitriser les outils de base de l'analyse complexe : fonctions holomorphes, intégration et dérivation complexes, théorème des résidus et son application au calcul intégral.
7. Connaître les principaux outils de résolution d'équations différentielles (variation de la constante, séparation des variables, transformée de Fourier, fonctions de Green) et savoir les appliquer aux principales équations physiques.
8. Se familiariser avec les fonctions spéciales (fonction gaussienne, fonction Gamma, harmoniques sphériques, fonctions de Bessel).
