L’objectif du cours est d’abord d’introduire les notions qui permettent de décrire le mouvement d’un corps solide indéformable sous l’action de forces extérieures, puis d’étudier la déformation d’un solide élastique sous l’effet de ces forces, et enfin de montrer comment le formalisme correspondant s’étend à la description du mouvement de fluides visqueux ou viscoélastiques et l’illustrer sur des exemples simples.
Disciplines traditionnelles développées au cours du 19ème siècle (l’élasticité continue est la première « théorie des champs », et de nombreuses notions mathématiques ont été introduites dans ce cadre : opérateurs vectoriels, polynômes orthogonaux…) et bases de nombreuses applications en ingénierie, ce domaine connaît un regain d’intérêt en physique en raison du développement de nombreuses thématiques aux interfaces, telles que la nanomécanique, la mécanobiologie, les matériaux architecturés, la géophysique…
Objectifs et compétences à acquérir:
1. Mettre en équation le mouvement d’un solide dans des situations simples
2. Définir et utiliser l'opérateur d’inertie, connaître l'approximation gyroscopique
3. Maîtriser les notions de contrainte et de déformation, la signification physique du module d’Young et du coefficient de Poisson, résoudre des problèmes simples en élasticité
4. Maîtriser la propagation d'ondes élastiques dans les solides isotropes
5. Décrire et modéliser les écoulements de fluides visqueux dans des géométries simples
6. Maîtriser les notions de viscoélasticité et de temps de relaxation
Le cours sera structuré en 3 parties :
A. Le solide indéformable (8h)
- Dynamique des systèmes matériels, lois et théorèmes généraux : Koenig, moment cinétique, référentiel barycentrique
- Cinématique du solide indéformable : champ de vitesse, changements de référentiel, angles d'Euler
- Cinétique du solide : opérateur d'inertie, théorème de Huygens, énergie cinétique
- Dynamique du solide en rotation autour d’un axe fixe et d’un point fixe, approximation gyroscopique
B. L'élasticité du solide (12h)
- Etude de déformations simples, définition des modules E,G,B, nu, exemples (flexion d'une poutre, ondes de compression et de cisaillement sur une barre, flambage)
- Tenseur des déformations, élasticité comme théorie des champs (écriture de l'énergie libre), tenseur des contraintes, équation d'équilibre générale, quelques exemples
- Ondes élastiques dans les solides et lien avec les phonons
C. Les fluides visqueux et viscoélastiques, solide élastoplastique (8h)
- Ecriture d’équations de bilan (bilan d’énergie et diffusion thermique, bilan d’impulsion et équations de Navier Stokes)
- Ecriture du tenseur des contraintes pour un fluide visqueux
- Notion de nombre de Reynolds
- Exemple d’application à des écoulements laminaires simples : Couette, Poiseuille, approximation de lubrification
- Viscoélasticité, rhéologie non linéaire (fluide de Maxwell, quelques exemples simples d’écoulements avec des lois de comportement non linéaire)
Manipulation des vecteurs en 3 dimensions, équations différentielles couplées, opérateurs linéaires, analyse vectorielle, transformation de Fourier, distribution delta de Dirac
Examen écrit de 2h ; rattrapage oral ou écrit suivant le nombre de candidats